2.4. Асимметричные криптоалгоритмы

2.4.1. Общие сведения об асимметричных криптоалгоритмах
Каждый пользователь асимметричной криптосистемы предварительно создает по определенному алгоритму пару ключей: закрытый и открытый – они будут в дальнейшем использоваться для отправки писем именно ему. Для отправки письма другому абоненту сети необходимо будет воспользоваться именно его открытым ключом.

2.4.2. Алгоритм RSA
Алгорит RSA является классикой асимметричной криптографии. В нем в качестве необратимого преобразования отправки используется возведение целых чисел в большие степени по модулю.

2.4.3. Технологии цифровых подписей
Асимметричная криптография, как оказалось, позволяет очень красиво решать и задачу аутентификации автора сообщения – простым изменением порядка использования открытого и закрытого ключей.

2.4.4. Механизм распространения открытых ключей
Асимметричная криптография сделала еще и достаточно мощный прорыв в технологии первоначального распространения ключей. Если для симметричных криптосистем обязательным был предварительный обмен по закрытому каналу (обычно лично из рук в руки), то теперь появились совершенно новые способы для этого.

2.4.5. Обмен ключами по алгоритму Диффи-Хеллмана
Метод Диффи-Хеллмана использует алгоритм, подобный алгоритму RSA, для первоначального обмена ключами в симметричных криптосистемах по открытому каналу, но только такому, в котором невозможна фальсификация сообщений.

2.4.1. Общие сведения об асимметричных криптоалгоритмах

Симметричные криптосистемы, рассмотренные нами в предыдущих главах, несмотря на множество преимуществ, обладают одним серьезным недостатком, о котором Вы, наверное, еще не задумывались. Связан он с ситуацией, когда общение между собой производят не три-четыре человека, а сотни и тысячи людей. В этом случае для каждой пары, переписывающейся между собой, необходимо создавать свой секретный симметричный ключ. Это в итоге приводит к существованию в системе из N пользователей N²/2 ключей. А это уже очень "приличное" число. Кроме того, при нарушении конфиденциальности какой-либо рабочей станции злоумышленник получает доступ ко всем ключам этого пользователя и может отправлять, якобы от его имени, сообщения всем абонентам, с которыми "жертва" вела переписку.

Своебразным решением этой проблемы явилось появление асимметричной криптографии. Эта область криптографии очень молода по сравнению с другими представителями. Первая схема, имевшая прикладную значимость, была предложена всего около 20 лет назад. Но за это время асимметричная криптография превратилась в одно из основных направлений криптологии, и используется в современном мире также часто, как и симметричные схемы.

Асимметричная криптография изначально задумана как средство передачи сообщений от одного объекта к другому (а не для конфиденциального хранения информации, которое обеспечивают только симметричные алгоритмы). Поэтому дальнейшее объяснение мы будем вести в терминах "отправитель" – лицо, шифруюшее, а затем отпраляющее информацию по незащищенному каналу и "получатель" – лицо, принимающее и восстанавливающее информацию в ее исходном виде. Основная идея асимметричных криптоалгоритмов состоит в том, что для шифрования сообщения используется один ключ, а при дешифровании – другой.

Кроме того, процедура шифрования выбрана так, что она необратима даже по известному ключу шифрования – это второе необходимое условие асимметричной криптографии. То есть, зная ключ шифрования и зашифрованный текст, невозможно восстановить исходное сообщение – прочесть его можно только с помощью второго ключа – ключа дешифрования. А раз так, то ключ шифрования для отправки писем какому-либо лицу можно вообще не скрывать – зная его все равно невозможно прочесть зашифрованное сообщение. Поэтому, ключ шифрования называют в асимметричных системах "открытым ключом", а вот ключ дешифрования получателю сообщений необходимо держать в секрете – он называется "закрытым ключом". Напрашивается вопрос: "Почему, зная открытый ключ, нельзя вычислить закрытый ключ ?" – это третье необходимое условие асимметричной криптографии – алгоритмы шифрования и дешифрования создаются так, чтобы зная открытый ключ, невозможно вычислить закрытый ключ.

В целом система переписки при использовании асимметричного шифрования выглядит следующим образом. Для каждого из N абонентов, ведущих переписку, выбрана своя пара ключей: "открытый" E_j и "закрытый" D_j, где j – номер абонента. Все открытые ключи известны всем пользователям сети, каждый закрытый ключ, наоборот, хранится только у того абонента, которому он принадлежит. Если абонент, скажем под номером 7, собирается передать информацию абоненту под номером 9, он шифрует данные ключом шифрования E₉ и отправляет ее абоненту 9. Несмотря на то, что все пользователи сети знают ключ E₉ и, возможно, имеют доступ к каналу, по которому идет зашифрованное послание, они не могут прочесть исходный текст, так как процедура шифрования необратима по открытому ключу. И только абонент №9, получив послание, производит над ним преобразование с помощью известного только ему ключа D₉ и восстанавливает текст послания. Заметьте, что если сообщение нужно отправить в противоположном направлении (от абонента 9 к абоненту 7), то нужно будет использовать уже другую пару ключей (для шифрования ключ E₇, а для дешифрования – ключ D₇).

Как мы видим, во-первых, в асимметричных системах количество существующих ключей связано с количеством абонентов линейно (в системе из N пользователей используются 2*N ключей), а не квадратично, как в симметричных системах. Во-вторых, при нарушении конфиденциальности k-ой рабочей станции злоумышленник узнает только ключ D_k: это позволяет ему читать все сообщения, приходящие абоненту k, но не позволяет вывадавать себя за него при отправке писем. Кроме этого, асимметричные криптосистемы обладают еще несколькими очень интересными возможностями, которые мы рассмотрим через несколько разделов.

2.4.2. Алгоритм RSA

Алгоритм RSA стоит у истоков асимметричной криптографии. Он был предложен тремя исседователями-математиками Рональдом Ривестом (R.Rivest) , Ади Шамиром (A.Shamir) и Леонардом Адльманом (L.Adleman) в 1977-78 годах.

Первым этапом любого асимметричного алгоритма является создание пары ключей: открытого и закрытого и распространение открытого ключа "по всему миру". Для алгоритма RSA этап создания ключей состоит из следующих операций:

1. Выбираются два простых (!) числа p и q
2. Вычисляется их произведение n(=p*q)
3. Выбирается произвольное число e (e<n), такое, что НОД(e,(p-1)(q-1))=1, то есть e должно быть взаимно простым с числом (p-1)(q-1).
4. Методом Евклида решается в целых числах (!) уравнение e*d+(p-1)(q-1)*y=1. Здесь неизвестными являются переменные d и y – метод Евклида как раз и находит множество пар (d,y), каждая из которых является решением уравнения в целых числах.
5. Два числа (e,n) – публикуются как открытый ключ.
6. Число d хранится в строжайшем секрете – это и есть закрытый ключ, который позволит читать все послания, зашифрованные с помощью пары чисел (e,n).

Как же производится собственно шифрование с помощью этих чисел:

1. Отправитель разбивает свое сообщение на блоки, равные k=[log₂(n)] бит, где квадратные скобки обозначают взятие целой части от дробного числа.
2. Подобный блок, как Вы знаете, может быть интерпретирован как число из диапазона (0;2^k-1). Для каждого такого числа (назовем его m_i) вычисляется выражение c_i=((m_i)^e)mod n. Блоки c_i и есть зашифрованное сообщение Их можно спокойно передавать по открытому каналу, поскольку.операция возведения в степень по модулю простого числа, является необратимой математической задачей. Обратная ей задача носит название "логарифмирование в конечном поле" и является на несколько порядков более сложной задачей. То есть даже если злоумышленник знает числа e и n, то по c_i прочесть исходные сообщения m_i он не может никак, кроме как полным перебором m_i.

А вот на приемной стороне процесс дешифрования все же возможен, и поможет нам в этом хранимое в секрете число d. Достаточно давно была доказана теорема Эйлера, частный случай которой утвержает, что если число n представимо в виде двух простых чисел p и q, то для любого x имеет место равенство (x^(p-1)(q-1))mod n = 1. Для дешифрования RSA-сообщений воспользуемся этой формулой. Возведем обе ее части в степень (-y): (x^{(-y)(p-1)(q-1)})mod n = 1^(-y) = 1. Теперь умножим обе ее части на x: (x^{(-y)(p-1)(q-1)+1})mod n = 1*x = x.

А теперь вспомним как мы создавали открытый и закрытый ключи. Мы подбирали с помощью алгоритма Евклида d такое, что e*d+(p-1)(q-1)*y=1, то есть e*d=(-y)(p-1)(q-1)+1. А следовательно в последнем выражении предыдущего абзаца мы можем заменить показатель степени на число (e*d). Получаем (x^e*d)mod n = x. То есть для того чтобы прочесть сообщение c_i=((m_i)^e)mod n достаточно возвести его в степень d по модулю m: ((c_i)^d)mod n = ((m_i)^e*d)mod n = m_i.

На самом деле операции возведения в степень больших чисел достаточно трудоемки для современных процессоров, даже если они производятся по оптимизированным по времени алгоритмам. Поэтому обычно весь текст сообщения кодируется обычным блочным шифром (намного более быстрым), но с использованием ключа сеанса, а вот сам ключ сеанса шифруется как раз асимметричным алгоритмом с помощью открытого ключа получателя и помещается в начало файла.

2.4.3. Технологии цифровых подписей

Как оказалось, теория асимметричного шифрования позволяет очень красиво решать еще одну проблему информационной безопасности – проверку подлинности автора сообщения. Для решения этой проблемы с помощью симметричной криптографии была разработана очень трудоемкая и сложная схема. В то же время с помощью, например, того же алгоритма RSA создать алгоритм проверки подлинности автора и неизменности сообщения чрезвычайно просто.

Предположим, что нам нужно передать какой-либо текст, не обязательно секретный, но важно то, чтобы в него при передаче по незащищенному каналу не были внесены изменения. К таким текстам обычно относятся различные распоряжения, справки, и тому подобная документация, не представляющая секрета. Вычислим от нашего текста какую-либо хеш-функцию – это будет число, которое более или менее уникально характеризует данный текст.

В принципе, можно найти другой текст, который дает то же самое значение хеш-функции, но изменить в нашем тексте десять-двадцать байт так, чтобы текст остался полностью осмысленным, да еще и изменился в выгодную нам сторону (например, уменьшил сумму к оплате в два раза) – чрезвычайно сложно. Именно для устранения этой возможности хеш-функции создают такими же сложными как и криптоалгоритмы – если текст с таким же значением хеш-функции можно будет подобрать только методом полного перебора, а множество значений будет составлять как и для блочных шифров 2³²–2¹²⁸ возможных вариантов, то для поиска подобного текста злоумышленнику "потребуются" те же самые миллионы лет.

Таким образом, если мы сможем передать получателю защищенным от изменения методом хеш-сумму от пересылаемого текста, то у него всегда будет возможность самостоятельно вычислить хеш-функцию от текста уже на приемной стороне и сверить ее с присланной нами. Если хотя бы один бит в вычисленной им самостоятельно контрольной сумме текста не совпадет с соответствующим битом в полученном от нас хеш-значении, значит, текст по ходу пересылки подвергся несанкционированному изменению.

Представим теперь готовую к передаче хеш-сумму в виде нескольких k-битных блоков h_i, где k – это размер сообщений по алгоритму RSA в предыдущем параграфе. Вычислим над каждым блоком значение s_i=((h_i)^d)mod n, где d – это тот самый закрытый ключ отправителя. Теперь сообщение, состоящее из блоков s_i можно "спокойно" передавать по сети. Никакой опасности по известным h_i и s_i найти Ваш секретный ключ нет – это настолько же сложная задача, как и задача "логарифмирования в конечном поле". А вот любой получатель сообщения может легко прочесть исходное значение h_i, выполнив операцию ((s_i)^e)mod n = ((h_i)^d*e)mod n = h_i – Ваш открытый ключ (e,n) есть у всех, а то, что возведение любого числа в степень (e*d) по модулю n дает исходное число, мы доказали в прошлом параграфе. При этом никто другой, кроме Вас, не зная Вашего закрытого ключа d не может, изменив текст, а следовательно, и хеш-сумму, вычислить такие s'_i, чтобы при их возведении в степень e получилась хеш-сумма h'_i, совпадающая с хеш-суммой фальсифицированного текста.

Таким образом, манипуляции с хеш-суммой текста представляют из себя "асимметричное шифрование наоборот": при отправке используется закрытый ключ отправителя, а для проверки сообщения – открытый ключ отправителя. Подобная технология получила название "электронная подпись". Информацией, которая уникально идентифицирует отправителя (его виртуальной подписью), является закрытый ключ d. Ни один человек, не владеющий этой информацией, не может создать такую пару (текст,s_i), что описанный выше алгоритм проверки дал бы положительный результат.

Подобный обмен местами открытого и закрытого ключей для создания из процедуры асимметричного шифрования алгоритма электронной подписи возможен только в тех системах, где выполняется свойство коммутативности ключей. Для других асимметричных систем алгоритм электронной подписи либо значительно отличается от базового, либо вообще не реализуем.

2.4.4. Механизм распространения открытых ключей

Казалось бы, асимметричные криптосистемы лишены одного из самых главных недостатков симметричных алгоритмов – необходимости предварительного обмена сторонами секретным ключом по защищенной схеме (например, из рук в руки или с помощью поверенного курьера). Вроде бы достаточно "раструбить" по всему свету о своем открытом ключе, и вот готова надежная линия передачи сообщений.

Но оказывается не все так просто: предположим я Ваш потенциальный собеседник. Для того чтобы отправить зашифрованное сообщение, я должен узнать Ваш открытый ключ. Если Вы не приносили мне его лично на дискете, значит я его просто взял из информационной сети. А теперь главный вопрос: где доказательство, что данный набор байт является именно Вашим открытым ключом? Ведь злоумышленник может сгенерировать произвольную пару (закрытый ключ, открытый ключ), затем активно распространять или пассивно подменять при запросе Ваш открытый ключ созданным им. В этом случае при отправке сообщения 1) я зашифрую его тем ключом, который думаю, что является Вашим, 2) злоумышленник, перехватив сообщение дешифрует его парным закрытым ключом, прочтет и более того: 3) может переслать дальше, зашифровав действительно уже Вашим открытым ключом. Точно так же, но по инверсной схеме, он может подменить и мою электронную подпись под моим письмом.

Таким образом, если между отправителем и получателем нет конфиденциальной схемы передачи асимметричных ключей, то возникает серьезная опасность появления злоумышленника-посредника. Но асимметричная криптография нашла изящный способ очень значительного снижения риска подобной атаки. Если задуматься, то неправильно говорить, что между Вами и Вашим собеседником нет гарантированной линии связи. Несомненно у Вас найдется трое-четверо надежных знакомых в столице или за рубежом, у них в свою очередь также найдется множество знакомых во многих точках страны и мира. В конце концов, Вы пользуетесь программным обеспечением фирм, если не центры, то хотя бы филиалы которых находятся в той стране или в том городе, куда Вы хотите отправить письмо. Проблема только в том, что начиная, со второго от Вас звена ни Вы не знаете человека, ни он Вас, и вероятность того, что он, или более того, крупная компания, будут что-либо делать ради Вас, очень мала.

Но в принципе, если множество единомышленников объединятся с целью создать надежную сеть распространения ключей, то это будет им вполне под силам. А сама асимметричная криптография поможет им в этом следующим образом: на самом деле никуда ходить с дискетой, получив просьбу от своего знакомого передать открытый ключ мистера V.M.B. мистеру R.H.J., не нужно. Ведь Вы общаетесь с Вашим знакомым, значит, у Вас есть его открытый ключ, полученный каким-либо надежным способом. А следовательно, он может Вам прислать этот открытый ключ мистера V.M.B., подписав сообщение своей электронной подписью. А от Вас в свою очередь требуется всего лишь отправить этот ключ дальше по цепочке в направлении мистера R.H.J., подписав уже своей электронной подписью. Таким образом, минуя несколько переподписываний, открытый ключ дойдет от места отправления к месту требования по надежному пути. В принципе от Вас даже может не требоваться никаких действий – просто поставьте на Вашей ЭВМ специальный сервер распространения ключей, и он все только что описанные действия будет выполнять автоматически.

На сегодняшний день не существует единой сети распространения открытых ключей, и дело, как это часто бывает, заключается в войне стандартов. Развиваются несколько независимых систем, но ни одна из них не получила довлеющего превосходства над другими, которое назывется "мировым стандартом".

Необходимо отметить, что цепочка распространения ключей в реальных случаях не очень велика. Обычно она состоит из двух-четырех звеньев. С привлечением к процессу распространения ключей крупных фирм-производителей программных продуктов она становится еще короче. Действительно, если на компакт-диске (не пиратском !) с купленным программным обеспечением уже находится открытый ключ этой фирмы, а сама она имеет крупный рынок сбыта, то цепочка будет состоять либо из одного звена (если ПО этой же фирмы стоит и у Вашего потенциального собеседника), либо из двух (вторым станет какой-нибудь другой гигантский концерн, чье ПО установлено у собеседника – уж между собой-то все крупные компании обменялись ключами электронных подписей достаточно давно). Открытый ключ, подписанный какой-либо третьей стороной, называется заверенным с помощью сертификата. Сертификатом называется информационный пакет, содержащий какой-либо объект (обычно ключ) и электронную подпись, подтверждающую этот объект от имени чьего-либо лица.

2.4.5. Обмен ключами по алгоритму Диффи-Хеллмана

Данный параграф посвящен еще одному интересному алгоритму, который достаточно трудно классифицировать. Он помогает обмениваться секретным ключом для симметричных криптосистем, но использует метод, очень похожий на асимметричный алгоритм RSA. Алгоритм назван по фамилиям его создателей Диффи (Diffie) и Хеллмана (Hellman).

Определим круг его возможностей. Предположим, что двум абонентам необходимо провести конфиденциальную переписку, а в их распоряжении нет первоначально оговоренного секретного ключа. Однако, между ними существует канал, защищенный от модификации, то есть данные, передаваемые по нему, могут быть прослушаны, но не изменены (такие условия имеют место довольно часто). В этом случае две стороны могут создать одинаковый секретный ключ, ни разу не передав его по сети, по следующему алгоритму.

Предположим, что обоим абонентам известны некоторые два числа v и n. Они, впрочем, известны и всем остальным заинтересованным лицам. Например, они могут быть просто фиксированно "зашиты" в программное обеспечение. Для того, чтобы создать неизвестный более никому секретный ключ, оба абонента генерируют случайные или псевдослучайные простые числа: первый абонент – число x, второй абонент – число y. Затем первый абонент вычисляет значение (v^x) mod n и пересылает его второму, а второй вычисляет (v^y) mod n и передает первому. Злоумышленник получает оба этих значения, но модифицировать их (вмешаться в процесс передачи) не может. На втором этапе первый абонент на основе имеющегося у него x и полученного по сети (v^y) mod n вычисляет значение (((v^y) mod n)^x)mod n, а второй абонент на основе имеющегося у него y и полученного по сети (v^x) mod n вычисляет значение (((v^x) mod n)^y)mod n. На самом деле операция возведения в степень переносима через операцию взятия модуля по простому числу (то есть коммутативна в конечном поле), то есть у обоих абонентов получилось одно и то же число: ((v^x*y) mod n. Его они и могут использовать в качестве секретного ключа, поскольку здесь злоумышленник снова встретится с проблемой RSA при попытке выяснить по перехваченным (v^x) mod n и (v^y) mod n сами числа x и y – это очень и очень ресурсоемкая операция, если числа v,n,x,y выбраны достаточно большими.

Необходимо еще раз отметить, что алгоритм Диффи-Хеллмана работает только на линиях связи, надежно защищенных от модификации. Если бы он был применим на любых открытых каналах, то давно снял бы проблему распространения ключей и, возможно, заменил собой всю асимметричную криптографию. Однако, в тех случаях, когда в канале возможна модификация данных, появляется очевидная возможность вклинивания в процесс генерации ключей "злоумышленника-посредника" по той же самой схеме, что и для асимметричной криптографии.

Содержание | Назад | Вперед